Moving Average Prozess Autokorrelation

2 1 Moving Average Models MA Modelle. Time-Serienmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Ausdrücke enthalten In Woche 1 haben wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable xt gelernt, ist ein verzögerter Wert von xt , Ein Verzögerung 1 autoregressiver Begriff ist x t-1 multipliziert mit einem Koeffizienten Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Ausdrücke. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler, multipliziert mit einem Koeffizienten. Letztes Upset N 0, Sigma 2w, Bedeutung Dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 1 bezeichnet ist, ist. Xt mu wt theta1w. Das 2. geordnete gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 2 bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w. Das gängige gleitende durchschnittliche Modell, das mit MA q bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w punkte thetaq. Note Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und nicht quittierten Begriffe in Formeln für ACFs und Abweichungen Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell R korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier sind. Die theoretischen Eigenschaften einer Zeitreihe mit Ein MA 1 Modell. Hinweis, dass der einzige Wert ungleich Null in der theoretischen ACF ist für lag 1 Alle anderen Autokorrelationen sind 0 Also ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei lag 1 ist ein Indikator für eine mögliche MA 1 Modell. Für interessierte Studenten, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handzettel. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA 1 - Modell xt 10 wt 7 w t-1 ist, wobei wt Overset N 0,1 Somit ist der Koeffizient 1 0 7 Die theoretische ACF ist gegeben durch Von diesem ACF folgt. Die Plot, die gerade gezeigt wird, ist die theoretische ACF für eine MA 1 mit 1 0 7 In der Praxis, ein Beispiel gewonnen t in der Regel ein solches klares Muster Mit R, simulierten wir n 100 Probenwerte mit dem Modell xt 10 wt 7 W t-1 wo w t. iid N 0,1 Für diese Simulation folgt ein Zeitreihenplot der Stichprobendaten Wir können aus dieser Handlung viel erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1 Gefolgt von im Allgemeinen nicht signifikanten Werten für Verzögerungen nach 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster der zugrunde liegenden MA 1 übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind. Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF Unten gezeigt, aber wahrscheinlich die gleichen breiten Features haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA 2 Modell. Für das MA 2 Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden. Hinweis, dass die einzigen Werte ungleich Null in der theoretischen ACF sind für Lags 1 Und 2 Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 Also, ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen zeigt ein mögliches MA 2 - Modell an. N 0,1 Die Koeffizienten sind 1 0 5 und 2 0 3 Da es sich hierbei um einen MA 2 handelt, wird der theoretische ACF nur ungleich Null-Werte nur bei den Verzögerungen 1 und 2 haben. Die Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind. Ein Diagramm der theoretischen ACF folgt. Wenn fast immer der Fall ist, wurden die Beispieldaten gewonnen Verhalten sich ganz so perfekt wie die Theorie Wir simulierten n 150 Sample-Werte für das Modell xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 wobei w t. iid N 0,1 Die Zeitreihen-Plot der Daten folgt Wie bei den Zeitreihen Plot für die MA 1 Beispieldaten, können Sie t viel davon erzählen. Das Beispiel ACF für die simulierten Daten folgt Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA 2 Modell nützlich sein kann Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2 gefolgt Durch nicht signifikante Werte für andere Lags Beachten Sie, dass aufgrund des Stichprobenfehlers die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster genau übereinstimmte. ACF für General MA q Modelle. Eigenschaft von MA q-Modelle im Allgemeinen ist, dass es keine Null-Autokorrelationen für die erste gibt Q Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen q. Non-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen Werten von 1 und Rho1 in MA 1 Modell. Im MA 1 Modell gibt für jeden Wert von 1 der reziproke 1 1 den gleichen Wert für ein Beispiel , Benutze 0 5 für 1 und verwende dann 1 0 5 2 für 1 Du bekommst in beiden Fällen rho1 0 4. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird, beschränken wir MA 1 - Modelle, Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1 zu haben Gegeben, 1 0 5 wird ein zulässiger Parameterwert sein, wohingegen 1 1 0 5 2 nicht. Unterstützung von MA Modellen ist. Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einer konvergierenden unendlichen Ordnung ist AR-Modell Durch konvergierende, wir Dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Unverträglichkeit ist eine Einschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terminen abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Weitere Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA 1 Modelle ist im Anhang angegeben. Advanced Theory Note Für ein MA q Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur ein invertierbares Modell Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, dass die Koeffizienten Werte haben, so dass die Gleichung 1- 1 y - - qyq 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells xt 10 wt 7w t-1 aufgetragen und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und Aufgetragen die Sample-Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten Die R-Befehle, die verwendet wurden, um das theoretische ACF zu zeichnen, waren. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 Verzögerungen von ACF für MA 1 mit theta1 0 7 Verzögerungen 0 10 erzeugt eine Variable namens Lags Das von 0 bis 10 Plot-Verzögerungen reicht, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, Haupt-ACF für MA 1 mit theta1 0 7 abline h 0 fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu. Der erste Befehl bestimmt die ACF und Speichert es in einem Objekt namens acfma1 unsere Wahl des Namens. Die Plot-Befehl der 3. Befehl Plots Lags gegenüber den ACF-Werte für Lags 1 bis 10 Die ylab Parameter markiert die y-Achse und der Haupt-Parameter setzt einen Titel auf dem Plot. To sehen Die numerischen Werte des ACF verwenden einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. List ma c 0 7 Simuliert n 150 Werte aus MA 1 x xc 10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10 Simulationsvorgaben bedeuten 0 Plot x, Typ b, Haupt Simuliert MA 1 Daten acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simuliert Beispieldaten In Beispiel 2 haben wir die theoretische ACF des Modells xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 aufgetragen und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Sample-Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten aufgetragen Daten Die verwendeten R-Befehle waren. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2-Verzögerungen 0 10 Plot-Verzögerungen, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, Haupt-ACF für MA 2 mit theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 list ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, Typ b, main Simuliert MA 2 Serie acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simulierte MA 2 Daten. Appendix Nachweis der Eigenschaften von MA 1 Für interessierte Schüler sind hier Beweise für die theoretischen Eigenschaften des MA 1 Modells. Variante Text xt Text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2w. Wenn h 1, der vorherige ausdruck 1 W 2 Für jeden h 2 ist der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit des wt E wkwj 0 für jedes kj weiter, weil das wt den Mittelwert 0 hat, E wjwj E wj 2 w 2.Für eine Zeitreihe. Geben Sie dieses Ergebnis, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das so konvergiert, dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück bewegen. Wir zeigen die Invertierbarkeit für die MA 1 Modell. Wir ersetzen dann die Beziehung 2 für w t-1 in Gleichung 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. Die Zeit t-2 Gleichung 2 wird. Wir ersetzen dann die Beziehung 4 für w t-2 In Gleichung 3. Zt wt theta1 z - Theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Wenn wir unendlich weitergehen würden, würden wir das unendliche AR-Modell bekommen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z dots. Hinweis jedoch, dass wenn 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, unendlich an Größe zunehmen werden, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 1 Dies ist Die Bedingung für ein invertierbares MA 1 Modell. Unendliche Ordnung MA Modell. In Woche 3 sehen wir, dass ein AR 1 Modell in ein unendliches Auftrag MA Modell umgewandelt werden kann. Xt - mu wt phi1w phi 21w punkte phi k1 w punkte sum phi j1w. Diese Summierung der vergangenen weißen Rauschbegriffe ist als die kausale Darstellung eines AR 1 bekannt. Mit anderen Worten, xt ist ein spezieller Typ von MA mit unendlich vielen Terme Rückkehr in der Zeit Dies ist eine unendliche Ordnung MA oder MA Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Recall in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR 1 ist, dass 1 1 Sei s berechnen die Var xt mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Reihen, die phi1 erfordert 1 sonst die Serie divergiert. Dieses Beispiel zeigt, wie man Autokorrelation in einen weißen Rauschprozess durch Filterung einführen Wenn wir Autokorrelation vorstellen In ein zufälliges Signal, man manipuliert seinen Frequenzgehalt Ein gleitender Durchschnittsfilter dämpft die hochfrequenten Komponenten des Signals, effektiv glättet es. Erfassen Sie die Impulsantwort für einen 3-Punkt-Gleitender Durchschnitt Filter Filter eine N 0,1 weiße Rauschsequenz mit Der Filter Setzen Sie den Zufallszahlengenerator auf die Standardeinstellungen für reproduzierbare Ergebnisse. Besorgen Sie sich die voreingenommene Probe Autokorrelation auf 20 Verzögerungen Plot die Probe Autokorrelation zusammen mit der theoretischen Autokorrelation. Die Probe Autokorrelation erfasst die allgemeine Form der theoretischen Autokorrelation, obwohl die beiden Sequenzen sind nicht im Einzelnen einverstanden. In diesem Fall ist es klar, dass der Filter eine signifikante Autokorrelation nur über Lags eingeführt hat -2,2 Der absolute Wert der Sequenz zerfällt schnell auf Null außerhalb dieses Bereichs. Um zu sehen, dass der Frequenzinhalt hat Beeinträchtigt, plot Welch Schätzungen der Leistungsspektraldichte der ursprünglichen und gefilterten Signale. Das weiße Rauschen wurde durch die gleitenden durchschnittlichen Filter gefärbt. External Websites. Ellis, Dan Über Colored Noise. MATLAB Command. You klickte auf einen Link, der entspricht Diese MATLAB-Befehl. Run den Befehl durch die Eingabe in die MATLAB-Befehlsfenster Web-Browser nicht unterstützen MATLAB-Befehle. Was dieses Thema hilfreich. Wählen Sie Ihr Land. Wählen Sie Ihr Land, um übersetzte Inhalte zu erhalten, wo verfügbar und sehen Sie lokale Ereignisse und Angebote Basierend auf Ihrem Ort, empfehlen wir Ihnen die Auswahl. Sie können auch einen Ort aus der folgenden Liste auswählen. RIMA steht für Autoregressive Integrated Moving Durchschnittliche Modelle Univariate Single-Vektor ARIMA ist eine Prognose-Technik, die die zukünftigen Werte einer Serie, die ganz auf ihre eigene Trägheit basiert, projiziert Seine Hauptanwendung liegt im Bereich der kurzfristigen Prognose, die mindestens 40 historische Datenpunkte erfordert. Es funktioniert am besten, wenn Ihre Daten ein stabiles oder konsistentes Muster im Laufe der Zeit mit einem Minimum an Ausreißern zeigen Manchmal genannt Box-Jenkins nach den ursprünglichen Autoren, ist ARIMA In der Regel überlegene exponentielle Glättung Techniken, wenn die Daten ist vernünftig lang und die Korrelation zwischen vergangenen Beobachtungen ist stabil Wenn die Daten kurz oder sehr flüchtig sind, dann kann einige Glättung Methode besser ausführen Wenn Sie nicht über mindestens 38 Datenpunkte, sollten Sie berücksichtigen Eine andere Methode als ARIMA. Der erste Schritt bei der Anwendung der ARIMA-Methodik ist es, die Stationarität zu überprüfen. Stationarity impliziert, dass die Serie auf einem ziemlich konstanten Niveau über die Zeit bleibt Wenn ein Trend existiert, wie in den meisten wirtschaftlichen oder geschäftlichen Anwendungen, dann sind Ihre Daten nicht stationär Die Daten sollten auch eine konstante Varianz in ihren Schwankungen im Laufe der Zeit zeigen Dies ist leicht zu sehen, mit einer Serie, die stark saisonal und wächst mit einer schnelleren Rate In einem solchen Fall werden die Höhen und Tiefen in der Saisonalität werden dramatischer im Laufe der Zeit ohne diese Stationaritätsbedingungen erfüllt sind, können viele der Berechnungen, die mit dem Prozess verbunden sind, nicht berechnet werden. Wenn eine grafische Darstellung der Daten eine Nichtstationarität anzeigt, dann sollten Sie die Serie unterscheiden. Das Differenzieren ist eine hervorragende Möglichkeit, eine nichtstationäre Serie in eine stationäre zu verwandeln. Dies geschieht Durch Subtraktion der Beobachtung in der aktuellen Periode von der vorherigen Wenn diese Transformation nur einmal in einer Serie erfolgt ist, sagst du, dass die Daten zuerst differenced worden sind. Dieser Prozess eliminiert im Wesentlichen den Trend, wenn deine Serie mit einer ziemlich konstanten Rate wächst Wächst mit zunehmender Rate, können Sie die gleiche Prozedur anwenden und die Daten wieder unterscheiden Ihre Daten würden dann zweitrangig sein. Autokorrelationen sind numerische Werte, die angeben, wie sich eine Datenreihe im Laufe der Zeit mit sich selbst verknüpft. Genauer gesagt, es misst, wie stark Datenwerte bei einer bestimmten Anzahl von Perioden voneinander getrennt sind. Die Anzahl der Perioden, die auseinander liegen, wird üblicherweise als Verzögerung bezeichnet Beispielsweise korrigiert eine Autokorrelation bei Verzögerung 1, wie die Werte 1 Periode voneinander in der ganzen Reihe miteinander korreliert sind. Eine Autokorrelation bei Verzögerung 2 misst, wie die Daten zwei Perioden voneinander getrennt sind. Die Autokorrelationen können von 1 bis -1 liegen. Ein Wert nahe bei 1 zeigt eine hohe positive Korrelation an, während ein Wert nahe bei -1 eine hohe negative Korrelation impliziert. Diese Maßnahmen werden am häufigsten durch grafische Plots ausgewertet, die Korrelagramme genannt werden. Ein Korrektogramm zeichnet die Autokorrelationswerte für eine gegebene Reihe bei verschiedenen Verzögerungen auf Autokorrelationsfunktion und ist bei der ARIMA-Methode sehr wichtig. ARIMA-Methodik versucht, die Bewegungen in einer stationären Zeitreihe als Funktion von sogenannten autoregressiven und gleitenden Durchschnittsparametern zu beschreiben. Diese werden als AR-Parameter autoregessive und MA-Parameter bezeichnet, die die Mittelwerte erzeugen Modell mit nur 1 Parameter kann geschrieben werden, wie X. Zeitreihe unter Untersuchung. 1 der autoregressive Parameter der Ordnung 1.X t-1 die Zeitreihe verzögerte 1 Periode. E t der Fehlerterm des Modells. Dies bedeutet einfach Dass jeder gegebene Wert X t durch eine Funktion seines vorherigen Wertes, X t-1, plus einige unerklärliche zufällige Fehler erklärt werden kann. E t Wenn der Schätzwert von A 1 30 war, wäre der aktuelle Wert der Reihe verwandt Zu 30 von seinem Wert 1 Zeitraum Natürlich könnte die Serie mit mehr als nur einem vergangenen Wert verknüpft werden. Zum Beispiel. X t A 1 X t-1 A 2 X t-2 E t. This zeigt an, dass der aktuelle Wert von Die Reihe ist eine Kombination der beiden unmittelbar vorhergehenden Werte, X t-1 und X t-2, plus einige zufällige Fehler E t Unser Modell ist jetzt ein autoregressives Modell der Ordnung 2.Moving Average Models. A zweite Art von Box-Jenkins Modell wird als gleitendes Durchschnittsmodell bezeichnet Obwohl diese Modelle dem AR-Modell sehr ähnlich sind, ist das Konzept hinter ihnen ganz anders. Die sich bewegenden Durchschnittsparameter beziehen sich auf das, was in der Periode t nur zu den zufälligen Fehlern geschieht, die in vergangenen Zeitperioden aufgetreten sind, dh E t - 1, E t-2, usw. anstelle von X t-1, X t-2, Xt-3 wie in den autoregressiven Ansätzen Ein gleitendes Durchschnittsmodell mit einem MA-Term kann wie folgt geschrieben werden: Der Begriff B 1 heißt a MA des Auftrags 1 Das negative Vorzeichen vor dem Parameter wird nur für Konventionen verwendet und wird in der Regel automatisch von den meisten Computerprogrammen ausgedruckt. Das obige Modell sagt einfach, dass jeder gegebene Wert von X t direkt nur mit dem zufälligen Fehler in verbunden ist Die vorherige Periode, E t-1 und den aktuellen Fehlerterm, E t Wie bei autoregressiven Modellen können die gleitenden Mittelmodelle auf Strukturen höherer Ordnung ausgedehnt werden, die unterschiedliche Kombinationen abdecken und die durchschnittliche Länge verlaufen Zu bauen, die sowohl autoregressive als auch gleitende Mittelparameter zusammenfassen. Diese Modelle werden oft als Mischmodelle bezeichnet. Dies macht zwar ein komplizierteres Vorhersageinstrument aus, doch kann die Struktur tatsächlich die Serie besser simulieren und eine genauere Prognose erzeugen. Pure Modelle bedeuten, dass die Struktur besteht nur aus AR - oder MA-Parametern - nicht beides. Die von diesem Ansatz entwickelten Modelle werden in der Regel als ARIMA-Modelle bezeichnet, weil sie eine Kombination aus autoregressivem AR, Integration I - in Bezug auf den umgekehrten Prozess der Differenzierung zur Prognose und gleitenden Durchschnitt verwenden MA-Operationen Ein ARIMA-Modell wird üblicherweise als ARIMA p, d, q angegeben. Dies entspricht der Reihenfolge der autoregressiven Komponenten p, der Anzahl der differenzierenden Operatoren d und der höchsten Ordnung des gleitenden Durchschnittsterms. Zum Beispiel ARIMA 2,1,1 Bedeutet, dass du ein autoregressives Modell zweiter Ordnung hast, mit einer ersten gleitenden durchschnittlichen Komponente, deren Serie einmal differenziert wurde, um die Stationarität zu induzieren. Die richtige Spezifikation. Das Hauptproblem in der klassischen Box-Jenkins versucht zu entscheiden, welche ARIMA-Spezifikation zu verwenden ist Wie viele AR - und MA-Parameter zu berücksichtigen Dies ist, was viel von Box-Jenkings 1976 dem Identifizierungsprozess gewidmet wurde. Es hing von der grafischen und numerischen Auswertung der Probe Autokorrelation und partiellen Autokorrelationsfunktionen ab. Nun, für Ihre Grundmodelle die Aufgabe Ist nicht zu schwierig Jeder hat Autokorrelationsfunktionen, die einen bestimmten Weg aussehen. Wenn man aber in der Komplexität aufsteigt, sind die Muster nicht so leicht zu erkennen. Um die Sache schwieriger zu machen, repräsentiert Ihre Daten nur eine Stichprobe des zugrunde liegenden Prozesses Ausreißer, Messfehler, etc. können den theoretischen Identifikationsvorgang verzerren. Deshalb ist die traditionelle ARIMA-Modellierung eher eine Kunst als eine Wissenschaft.